Fractales

Fractales

Apostaría que la mayor parte de los lectores de este blog reconocerán las imágenes de este artículo sin necesidad de mirar el título. Los fractales son, en efecto, una de las aplicaciones de las matemáticas más conocidas y admiradas por los “no iniciados”. Sin embargo, tan sólo pocos conocen la verdadera formulación matemática que llevan implícita. En este artículo, vamos a intentar aclarar un poco más los secretos que encierran, procurando no entrar en excesivo formulismo matemático.

En primer lugar, vamos a describir qué es un fractal. Un fractal es una forma geométrica que cumple dos características fundamentales:

-No se puede identificar como una forma geométrica “típica”. Es decir, no es un cuadrado, ni círculo ni nada similar, sino que forma una estructura muy compleja.

-Sobre todo, la característica que diferencia a los fractales de cualquier figura geométrica es que son autosimilares. Que sean autosimilares quiere decir que están formados por la

La idea de autosimilitud se ve fácilmente en esta imagen. La fotografía de la izquierda corresponde a un fractal de Mandelbrot. La parte señalada por el círculo rojo está ampliada en la imagen del centro, que a su vez se amplía en la fotografía de la derecha. Sin tener en cuenta los colores, las tres figuras son prácticamente iguales.

repetición de la misma forma a distintas escalas. El ejemplo típico que se suele poner para explicar esto es el de una costa de un continente vista desde el espacio. Apreciaremos golfos, cabos y demás formas geológicas. Si nos acercamos un poco más, de manera que podamos ver sólo uno de estos golfos, veremos pequeños golfos y cabos dentro de él. Y esto se repite en bastantes ampliaciones.

En algunos casos, es común la aparición de comportamientos fractales en la naturaleza, como ocurre en esta foto. A pesar de que el ejemplo típico es la similitud entre las costas y los fractales de Koch, esta se parece a un fractal de Mandelbrot.

Este ejemplo sirve para explicar que los fractales no son sólo un invento de los matemáticos, sino que aparecen constantemente en la naturaleza. El ejemplo de las costas es uno de los más conocidos y es, de hecho, bastante parecido al fractal de Koch.

Otros casos pueden ser las hojas de las plantas, cuyos nervios se ramifican una y otra vez, o los modelos meteorológicos, que tienen parecido con el atractor de Lorentz.

El atractor de Lorentz es la solución a un sistema tridimensional de ecuaciones diferenciales que suele aparecer en diversos contextos como la meteorología o la física estadística y tiene un comportamiento caótico.

El lector se preguntará cuál será la relación de todo esto con las matemáticas. Una de los primeros casos del estudio de fractales fue la función de Weierstrass. Esta función está definida de manera que, a pesar de ser continua, todos sus puntos son esquinas. Al lector le puede parecer simple, pero a servidor, como estudiante de matemáticas, le pareció muy chocante. El caso es que esta función, como se ve en la imagen presenta un comportamiento fractal.

El lector verá el dibujo y probablemente no encuentre la relación entre los fractales “conocidos” y la función de Weierstrass. Eso es porque muchos tipos de fractales están definidos con números complejos (y existen fractales tridimensionales, que se definen con cuaterniones, pero eso exige más explicación). Existen muchas más formas de definir fractales, pero por simplicidad nos vamos a centrar en los fractales de Julia.

La importancia de la función de Weierstrass es que, siendo continua en todos los puntos, no es derivable en ninguno. Su aspecto fractal es una consecuencia directa de su definición, que probablemente veamos en un post futuro. Como nota anecdótica mi (poco potente) netbook estuvo 10 minutos generando esta imagen (a partir de un algoritmo escrito en Octave, un programa de cálculo númerico).

Supongamos todos los puntos del plano (el plano complejo). A cada punto del plano se le asigna otro punto mediante una determinada función. Es decir, si z es un punto,

z →  f(z).

A este punto, le asignamos un tercer punto con la misma función,

f(z)→ f(f(z))

y repetimos sucesivamente este paso. Algunos puntos escaparán al infinito y otros no. Los que no escapen al infinito se suelen representar en color negro. El color del resto depende del tiempo (número de repeticiones que hay que hacer) que tarden en escapar. De esta manera, se obtienen estas preciosas figuras.

Por último, me gustaría reseñar que la importancia fundamental de los fractales no es el arte, ni mucho menos. Las aplicaciones de este aparato matemático son casi interminables: sirven para describir sucesos complejos (lo cual es muy importante en meteorología) y, en general, permiten trabajar con la teoría del caos determinista.

Esto se basa en que en algunos modelos matemáticos sólo se puede conocer el estado del sistema a partir de un estado próximamente anterior. Esta idea es muy similar a la manera  con la que se definen los fractales de Julia:

Si tenemos un parámetro z, al cabo de un rato se convertirá en un estado f(z)

z→f(z).

Y en el siguiente instante, se encontrará en el estado f(f(z)).

f(z) → f(f(z)).

Esto pretende ser únicamente una mera justificación de la importancia de los fractales que, evidentemente, son mucho más potentes de lo que se puede explicar aquí. De hecho, se han desarrollado modelos económicos basados en este tipo de constructos matemáticos, aunque sin mucho acierto. Parece que alguien ha escogido los axiomas incorrectos.

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